Resumen de la Tesis:

El objetivo de esta tesis es introducir y analizar un nuevo esquema mixto-aumentado para el problema acoplado de Navier-Stokes-Darcy estacionario. El enfoque que emplearemos consiste en utilizar, para la región de fluido libre, una técnica previamente aplicada a las ecuaciones estacionarias de Navier-Stokes en la cual se introduce un tensor de pseudo-esfuerzo modificado que relaciona la presión con los términos difusivo y convectivo. Adicionalmente, usando la condición de incompresibilidad, se elimina la presión, y como el término convectivo fuerza a la velocidad del fluido a vivir en un espacio más pequeño de lo usual, aumentamos la formulación resultante con términos residuales adecuados, provenientes de la ecuación constitutiva y de la ecuación de equilibrio. Por otro lado, en la región de Darcy aplicamos la formulación mixta usual, la cual induce la introducción de la traza de la presión en el medio poroso como un multiplicador de Lagrange. Esto último está relacionado con el hecho que la condición de transmisión que involucra conservación de masa se vuelve esencial y debe ser impuesta débilmente. De este modo, obtenemos una formulación con cinco incógnitas dadas por el tensor de pseudo-esfuerzo y la velocidad en el fluido, la velocidad y la presión en el medio poroso, y el ya mencionado multiplicador de Lagrange. El análisis de existencia y unicidad de solución de nuestro esquema se lleva a cabo combinando la teoría clásica de Babuska-Brezzi y el teorema de punto fijo de Banach. A su vez, a nivel discreto se definen subespacios de elementos finitos genéricos y se plantean hipótesis adecuadas sobre estos de forma que, adaptando adecuadamente los argumentos utilizados en el análisis del problema continuo, se pueda probar que el esquema de Galerkin resultante está bien puesto y es convergente. En particular, elementos de Raviart-Thomas de orden bajo para el tensor de pseudo-esfuerzo y la velocidad de Darcy, funciones continuas y lineales a trozos para la velocidad del fluido libre, funciones constantes a trozos para la presión de Darcy, junto con elementos continuos y lineales a trozos para el multiplicador de Lagrange, constituyen una elección adecuada. Finalmente, proporcionaremos algunos resultados numéricos para ilustrar el buen comportamiento del método de Galerkin propuesto y para confirmar la tasa de convergencia teórica.